On se propose de trouver la solution de l’équation différentielle du 2nd ordre suivant :

 

s’’ = w02 (u + s) – 2m w0 s’

 

En prenant la transformation de Laplace, on remarque que cette solution est la sortie du système du 2nd ordre de fonction de transfert :

 

Equ_differentielle

 

Le système est programmé ci-dessous sous forme de son équation différentielle du second degré. La pulsation propre w0 et le coefficient d’amortissement m sont spécifiés dans l’espace de travail de MATLAB. Le signal d’entrée du système est formé d’un échelon unité j’usqu’à l’instant 100 puis on le suit par une rampe de pente 0.05 et de valeur initiale nulle. Afin d’éviter le croisement des fils, nous avons envoyé le signal d’entrée dans une étiquette Goto nommée [u] que l’on récupère plus loin par l’étiquette From de même nom. Les valeurs de w0 et de m sont les suivants :

>> % pulsation propre
>> w0 = 0.5;
>> % coefficient d'amortissement
>> m = 0.2;

 

sol_2nd_ordre_equ_diff

 

Nous appliquons le même signal d’entrée au système analogique du 2nd ordre et nous obtenons la même réponse temporelle.

Le signal d’entrée est un échelon suivi d’une rampe selon la condition spécifiée par l’opération relationnelle (Relational Operator) de la bibliothèque Logic & Bit Operations.

L’échelon passe à travers le Switch lorsque la sortie de l’opérateur « => » est au niveau logique 1 soit le temps d’horloge inférieur à 100. Le signal d’entrée est ensuite envoyé dans la variable local u, grâce au bloc Goto.

Sa valeur sera récupérée via la même variable u grâce au bloc From. Goto est From appartiennent à la bibliothèque Signal Routing.

L’équation différentielle est programmée par 2 intégrateurs purs et 2 gains dans lesquels on utilise les valeurs du coefficient d’amortissement m et la pulsation propre w0.

Les signaux d’entrée et de sortie sont envoyés à la fois vers l’oscilloscope, le fichier binaire es.mat et l’afficheur numérique Display.

Dans le modèle suivant, le même signal d’entrée est envoyé à l’entrée du système du 2nd ordre de coefficient d’amortissement m, de pulsation propre w0 et un gain statique unité.

 

sol_2nd_ordre_equ_ft

 

sol_2nd_ordre_equ_scope

 

Nous avons aussi sauvegardé ce signal dans le fichier binaire es.mat que l’on peut lire grâce à la commande load.

On efface toutes les variables de l’espace de travail et on lit le fichier binaire.

>> clear all
>> load es

 

La seule variable de l’espace de travail est celle portant le nom du fichier binaire.

>> who
Your variables are:
es

 

Bien que le multiplexeur possède uniquement 2 entrées, le signal enregistré possède 3 lignes et autant de colonnes que ne le nombre d’échantillons temporels.

>> size (es)
ans =
3   73

 

Par défaut MATLAB ajoute toujours la variable temps en début de fichier, soit le vecteur es (1, 🙂 dans notre cas ici.

>> plot (es (1, :), es (2, :), es (1, :), es (3, :))
>> title ('Réponse indicielle et à une rampe d''un système du 2nd ordre')
>> grid
>> gtext ('signal de sortie')
>> gtext ('signal d''entree')

 

Le bloc numérique display de la bibliothèque Sinks affiche les valeurs instantanées du signal de sortie du système du 2nd ordre analogique.

Nous obtenons les mêmes signaux que ceux affichés sur l’oscilloscope.

 

fichier_es_mat

 

Après que oscillations du fait du faible coefficient d’amortissement, le signal de sortie rejoint le signal d’entrée car le gain statique est égal à 1.