L’imaginaire pur i (i2 = -1) est noté i ou j. Un nombre complexe est donc de la forme z = a + ib ou a + jb. Mais MATLAB, dans ses réponses, donne toujours le symbole i.

>> i^2
ans =
-1
>> j^2
ans =
-1

> z1 = 4-3i 

z1 = 
4.0000 - 3.0000i

 

Il n’est plus nécessaire d’écrire le signe de multiplication ‘*’ avant i (ou j) ; on peut noter z = 4 + 2i au lieu de z = 4 + 2*i. Ce signe est, par contre nécessaire avant le nom de variable.

>> im=3;
>> 2+jim
??? Undefined function or variable 'jim'.
>> 2+j*im
ans =
2.0000 + 3.0000i

 

Il est conseillé d’utiliser la première notation pour éviter toute ambiguïté, surtout si on a défini une variable i à laquelle on a affecté une valeur.

Par exemple, si on définit une variable i à laquelle on affecte la valeur -3,

>> i = -3;

 

La définition du complexe z sans le signe ‘*’ avant i, donne bien le nombre complexe désiré.

>> z = 4 + 2i
z =
4.0000 + 2.0000i

 

Alors que si l’on utilise le signe ‘*’, i représente la variable précédemment affectée de la valeur -3 au lieu du symbole i des nombres complexes ; dans ce cas, l’instruction précédente revient à une simple opération arithmétique.

>> z = 4 + 2*i
z =
-2

 

La conjugué d’un nombre complexe

La conjugué d’un nombre complexe est obtenu par la fonction conj. Considérons le nombre complexe z1.

>> z1 = 4-3i
z1 =
4.0000 - 3.0000i

 

Son conjugué, noté z1c, est :

>> z1c = conj(z1)
z1c =
4.0000 + 3.0000i

 

La conjugué peut aussi se calculer par la transposition du nombre complexe

>> z1'
ans =
4.0000 + 3.0000i

 

Opérations sur les nombres complexes

Nous pouvons aussi effectuer les opérations courantes sur les nombres complexes telles que l’addition, la multiplication, l’élévation à une puissance et la division.

>> z2 = 2+3i
z2 =
2.0000 + 3.0000i

 

Addition de deux complexes

>> z1+z2
ans =
6

 

Multiplication de deux complexes

>> z1*z2
ans =
17.0000 + 6.0000i
>> z1*z1c
ans =
25

 

Division de deux complexes

>> z1/z2
ans =
-0.0769 - 1.3846i

 

Élévation à une puissance

>> z2^3
ans =
-46.0000 + 9.0000i

 

Inverse

>> 1/(1+j)
ans =
0.5000 - 0.5000i

 

Partie imaginaire et partie réelle

La fonction real et imag permettent d’obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe.

>> a = real(z1)
a =
4
>> b = imag(z1)
b =
-3

 

Module et argument

Nous pouvons calculer le module et l’argument d’un nombre complexe à partir de leurs définitions mathématiques.

>> r = sqrt (z1*z1c)
r =
5
>> theta = atan (b/a)
theta =
-0.6435

 

MATLAB propose les fonctions abs et angle qui permettent d’obtenir directement le module et l’argument d’un complexe.

>> r = abs (z1)
r =
5
>> theta = angle (z1)
theta =
-0.6435

 

Rappel sur les nombres complexes

Forme algébrique : z = a + ib

Forme trigonométrique : z = [r, theta]

r et theta sont respectivement le module et l’argument de z.

La connaissance de l’une de ces formes permet d’aboutir à l’autre.

>> z = r*(cos(theta)+i*sin(theta))
z =
4.0000 - 3.0000i

 

Il est aussi possible d’utiliser la notation exponentielle.

>> r*exp(j*theta)
ans =
4.0000 - 3.0000i

 

Comme on peut définir des tableaux ou des matrices de réels, on peut aussi définir des tableaux et des matrices de complexes.

>> z = [z1 0; z2 z1+z2]
z =
4.0000 - 3.0000i       0
2.0000 + 3.0000i   6.0000

 

Transformation en vecteur colonne

>> z(:)
ans =
4.0000 - 3.0000i
2.0000 + 3.0000i
0
6.0000       

 

Somme de tous les éléments de la matrice

>> sum(sum(z))
ans =
12